如圖，已知點F為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點，圓A：（x+t）2+y2=2（t＞0）與橢圓C的一個公共點為B（0，1），且直線FB與圓A相切于點B．
（Ⅰ）求t的值及橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動點P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+3
ON
，其中M、N是橢圓C上的點，O為原點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：x02+2y02為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）根據(jù)圓A：（x+t）2+y2=2（t＞0）與橢圓C的一個公共點為B（0，1），求t的值；在Rt△AFB中，|AB|2+|FB|2=|AF|2，求出c，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用
OP
=
OM
+3
ON
，可得x0=x1+3x2，y0=y1+3y2，利用直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，可得x1x2+2y1y2=0，從而可得x02+2y02為定值．
解答： 解：（Ⅰ）由題意可知b=1，
∵t2+1=2，∴t=±1．
∵t＞0，∴t=1．…..（2分）
在Rt△AFB中，|AB|2+|FB|2=|AF|2，
∴2+（1+c2）=（1+c）2，
∴c=1，a=
2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2
2
+y2=1…..（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
∵
OP
=
OM
+3
ON
，
∴x0=x1+3x2，y0=y1+3y2
∵M、N在橢圓上，∴
x
2
1
+2
y
2
1
=2，
x
2
2
+2
y
2
2
=2
又直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，
∴x1x2+2y1y2=0，
于是x02+2y02=(x12+6x1x2+9x22)+2(y12+6y1y2+9y22)=(
x
2
1
+2
y
2
1
)+6(x1x2+2y1y2)+9(
x
2
2
+2
y
2
2
)=20．
故x02+2y02為定值．…..（13分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=|cosx|（x≥0），y=g（x）是經(jīng)過原點且與f（x）圖象恰有兩個交點的直線，這兩個交點的橫坐標(biāo)分別為α，β（0＜α＜β），那么下列結(jié)論中正確的有
 
．
①f（x）-g（x）≤0的解集為[α，+∞）．
②y=f（x）-g（x）在（0，α）上單調(diào)遞減．
③αcosβ+βcosα=0．
④當(dāng)x=π時，y=f（x）-g（x）取得最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U=R，集合A={x|-1≤x＜3}，B={0，2，4，6}，則A∩B等于（　�。�
A、{0，2}
B、{-1，0，2}
C、{x|0≤x≤2}
D、{x|-1≤x≤2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，且a≠1，則“函數(shù)y=logax在（0，+∞）上是減函數(shù)”是“函數(shù)y=（2-a）x3在R上是增函數(shù)”的（　�。�
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，x軸的正半軸上有4個點，y軸的正半軸上有5個點，這9個點任意兩點連線，則所有連線段的交點落入第一象限的個數(shù)最多是（　�。�
A、30B、60
C、120D、240

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=
2
，且∠BAD=45°，以BD為折線，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AC．

（Ⅰ）求證：AB⊥DC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且過點（
3
，
1
2
）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+t 與圓C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于點A，且l與橢圓E只有一個公共點B．
①求證：k2=
R2-1
4-R2
；
②當(dāng)R為何值時，丨AB丨取得最大值？并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且
a
sinA
=
2c
3
．
（1）確定角C的大��；
（2）若c=
7
，且△ABC的面積為
3
3
2
，求a+b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+
3
sinωxsin（ωx+
π
2
）+2cos2ωx，x∈R（ω＞0），在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)為
π
6
．若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移
π
6
個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)g（x）的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）（文）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=
3
，b+c=3且f（A）=2，求角A的值．

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同步練習(xí)冊答案