Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

9x

9x+3

．
（1）求證：f（x）+f（1-x）=1；
（2）若f（x）+f（1-x）=1，根據(jù)f（x）=

9x

9x+3

，寫出一個(gè)更為一般的函數(shù)g（x）；
（3）計(jì)算：f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)的值

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡整理，即可得證；
（2）設(shè)g（x）=

ax

ax+b

，則由g（x）+g（1-x）=1，可得a=b²，即可得到g（x）；
（3）由（1）的結(jié)論，即可計(jì)算得到所求的和．

解答： （1）證明：f（x）+f（1-x）=

9x

9x+3

+

91-x

91-x+3

=

9x

9x+3

+

9

9+3•9x

=

9x

9x+3

+

3

3+9x

=1，
即有f（x）+f（1-x）=1；
（2）解：設(shè)g（x）=

ax

ax+b

，則由g（x）+g（1-x）=1，
即有

ax

ax+b

+

a1-x

a1-x+b

=

ax

ax+b

+

a

a+b•ax

=1．
則有a=b²，
故g（x）=

ax

ax+ a

；
（3）解：由于f（x）+f（1-x）=1，
則設(shè)S=f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

），
則S=f（

2013

2014

）+f（

2012

2014

）+…+f（

1

2014

）．
即有2S=（f（

1

2014

）+f（

2013

2014

））+（f（

2

2014

）+f（

2012

2014

））+…+（f（

2013

2014

）+f（

1

2014

））
=2013，
故S=

2013

2

．

點(diǎn)評：本題考查指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查函數(shù)的函數(shù)值之間的關(guān)系式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．