如圖:PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)
(Ⅰ)求三棱錐E-PAD的體積;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí),試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)證明:無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處,都有PE⊥AF
(Ⅰ)(Ⅱ)平行,(Ⅲ)詳見(jiàn)解析
解析試題分析:(Ⅰ)因?yàn)橐阎狿A⊥平面ABCD,所以求三棱錐E-PAD的體積,用等體積法
求體積時(shí)先找高線,即先觀察面上的垂線,(Ⅱ)點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),EF為三角形的中位線,根據(jù)三角形的中位線可得線線平行,再由直線與平面平行的判定定理得出結(jié)論,(Ⅲ)無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處,暗示本題只需考慮直線AF與平面PBC的垂直關(guān)系即可 由等腰三角形底邊上中線垂直于底邊,即AF垂直于PB,因此只需考慮AF垂直平面PBC另一條直線 經(jīng)觀察,直線BC為目標(biāo),這是因?yàn)锽C垂于AB,而PA又垂直BC。到此思路已出,只需逆推即可。
試題解析:解:(Ⅰ)三棱錐E-PAD的體積 4分
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),與平面平行
在中,分別為的中點(diǎn),
又平面,而平面,
平面 4分
(Ⅲ)證明:平面平面
,又平面,
平面,又平面,
又,點(diǎn)為的中點(diǎn),,
又,平面,平面
平面, 4分
考點(diǎn):三棱錐體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O為AC中點(diǎn).
(1)證明:A1O⊥平面ABC;
(2)若E是線段A1B上一點(diǎn),且滿足VE-BCC1=·VABC-A1B1C1,求A1E的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在矩形中,點(diǎn)為邊上的點(diǎn),點(diǎn)為邊的中點(diǎn),,現(xiàn)將沿邊折至位置,且平面平面.
(1) 求證:平面平面;
(2) 求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知四棱錐,面,∥,,,,,為上一點(diǎn),是平面與的交點(diǎn).
(1)求證:∥;
(2)求證:面;
(3)求與面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,,,且.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)棱上是否存在一點(diǎn),使直線與平面所成的角是?若存在,求的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,又PA=PD,∠APD=60°,E、G分別是BC、PE的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PE;
(2)求二面角E-AD-G的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知:如圖,等腰直角三角形的直角邊,沿其中位線將平面折起,使平面⊥平面,得到四棱錐,設(shè)、、、的中點(diǎn)分別為、、、.
(1)求證:、、、四點(diǎn)共面;
(2)求證:平面平面;
(3)求異面直線與所成的角.
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