已知A，B為拋物線y2=2x上兩動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且OA⊥OB，若直線AB的傾斜角為135°，則S△AOB=
2
5
2
5
．
分析：設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2的表達(dá)式，然后利用配方法求得|x1-x2|，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得|y1-y2|，利用OA⊥OB垂直判斷出二直線的斜率的乘積為-1求得m，代入三角形面積公式求得答案．
解答：解：設(shè)直線AB的方程為y=x-m，
聯(lián)立
y2=2x
y=x-m
，得x2-（2m+2）x+m2=0，
則x1+x2=2m+2，x1x2=m2，
∴|x1-x2|=
(2m+2)2-4m2
=
8m+4
，
∵三角形的面積為S△AOB=|
1
2
my1-
1
2
my2|=
1
2
m（|x1-x2|）=
1
2
m•
8m+4
；
又因?yàn)镺A⊥OB，設(shè)A（x1，
2x1
），B（x2，-
2x2
），
所以x1x2-2
x1x2
=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍），或m=2，
代入上式可得S△AOB=
1
2
m•
8m+4
=
1
2
×2×
8×2+4
=2
5
．
故答案為：2
5
．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
，
b
為非零向量，函數(shù)f(x)=(x
a
+
b
)•(
a
-x
b
)，則使f（x）的圖象為關(guān)于y軸對稱的拋物線的一個必要不充分條件是（　�。�
A、
a
⊥
b
B、
a
∥
b
C、|
a|
=|
b
|
D、
a
=
b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB．
（I）求證：直線AB過定點(diǎn)M（4，0）；
（II）設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P到直線x-y=0的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（理）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1，與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q（x0，0）．若x0=5，試用線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示線段AB的長度，并求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知A、B是拋物線y2=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l1，與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l2相交于點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l1、l2相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q（x0，0）．若x0＞2，試用x0表示線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，非零向量
OA
， 
OB
滿足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|．
（Ⅰ）求證：直線AB經(jīng)過一定點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)AB的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的最小值為
2
5
5
時，求p的值．

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