16.已知a,b為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2+ax+1,且函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),函數(shù)g(x)=-b•f(f(x+1))+(3b-1)•f(x+1)+2在區(qū)間(-∞,-2]上的減函數(shù),且在區(qū)間(-2,0)上是增函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求實(shí)數(shù)b的值;
(3)設(shè)h(x)=f(x+1)-2qx+1+2q,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)q,使得h(x)在區(qū)間[0,2]上有最小值為-2?若存在,求出q的值;若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)利用函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,求實(shí)數(shù)b的值;
(3)分類討論,求出函數(shù)的最小值,利用h(x)在區(qū)間[0,2]上有最小值為-2,得出結(jié)論.

解答 解:(1)∵函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),
∴(x+1)2+a(x+1)+1=(-x+1)2+a(-x+1)+1,
∴4x+2ax=0,
∴a=-2,
∴f(x)=(x-1)2;
(2)g(x)=-b•f(f(x+1))+(3b-1)•f(x+1)+2=-bx4+(5b-1)x2+2-b,
令t=x2,u(t)=-bt2+(5b-1)t-(b-2),
在區(qū)間(-∞,-2]上,t=x2是減函數(shù),且t∈[4,+∞),由g(x)是減函數(shù),可知u(t)為增函數(shù);
在區(qū)間(-2,0)上,t=x2是減函數(shù),且t∈(0,4),由g(x)是增函數(shù),可知u(t)為減函數(shù),
∴由u(t)在(0,4)上是減函數(shù),(4,+∞)上是增函數(shù),
可得二次函數(shù)開(kāi)口向上,b<0,且-$\frac{5b-1}{-2b}$=4,∴b=-$\frac{1}{3}$;
(3)h(x)=f(x+1)-2qx+1+2q=x2=2qx+2q,x∈[0,2].
q<0,ymin=h(0)=1+2q=-2,q=-$\frac{3}{2}$;
0≤q≤2,ymin=h(q)=-q2+2q+1=-2,∴q=3或-1,舍去;
q>2,ymin=h(2)=-2q+5=-2,q=$\frac{7}{2}$,
綜上所述,q=-$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)解析式的求解,考查學(xué)生的最值,正確分類討論是關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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6.如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在線段AD上,BE與AC交于點(diǎn)F,設(shè)$\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AD}=b$.
(I)若E為AD的中點(diǎn),用向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow$表示$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BE}$;
(II)用向量的方法探究:在線段AD上是否存在點(diǎn)E,使得點(diǎn)F恰好為BE的一個(gè)三等分點(diǎn),若有,求出滿足條件的所有點(diǎn)E的位置;若沒(méi)有,說(shuō)明理由.

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7.如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),則稱f(x)為“H函數(shù)”.給出下列函數(shù):①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sinx-cosx);③y=ex+1;④$f(x)=\left\{\begin{array}{l}ln|x|,x≠0\\ 0,x=0.\end{array}\right.$
其中“H函數(shù)”的個(gè)數(shù)是②③.

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4.設(shè)實(shí)數(shù)m,n滿足$\frac{6}{m}+\frac{4}{n}=\sqrt{2mn}$,則mn的最小值為4$\sqrt{3}$.

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11.記不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≥10\\ x≤5\\ y≤4\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镈,過(guò)區(qū)域D中任意一點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則當(dāng)∠APB的最大時(shí),cos∠APB為( 。
A.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$C.$\frac{1}{3}$D.$\frac{1}{2}$

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1.設(shè)$lnx=\frac{{{{ln}^2}sinα}}{lnb},lny=\frac{{{{ln}^2}cosα}}{lnb},lnz=\frac{{{{ln}^2}sinαcosα}}{lnb}$,若$α∈({\frac{π}{4},\frac{π}{2}}),b∈({0,1})$,則x,y,z的大小關(guān)系為( 。
A.x>y>zB.y>x>zC.z>x>yD.x>z>y

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8.在$(2{x}^{2}-\frac{1}{\sqrt{x}})^{6}$的展開(kāi)式中,含x7的項(xiàng)的系數(shù)是( 。
A.60B.160C.180D.240

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5.直線x+ay+6=0與直線(a-2)x+3y+2a=0平行,則a的值為( 。
A.3 或-1B.3C.-1D.$\frac{1}{2}$

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6.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若$cosA=-\frac{3}{5}$,$sinC=\frac{1}{2}$,c=1,則△ABC的面積為$\frac{8\sqrt{3}-6}{25}$.

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