Question

如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
（1）當(dāng)AA₁=3，AB=2，AD=2，求AC₁的長；
（2）當(dāng)?shù)酌鍭BCD是菱形時(shí)，求證：CC₁⊥BD．

Answer 1

分析：（1）利用空間向量的加法法則可得

AC1

=

AB

+

AD

+

AA1

，再利用數(shù)量積的性質(zhì)可得

AC1

2=(

AB

+

AD

+

AA1

)2=

AB

2+

AD

2+

AA1

2+2

AB

•

AD

+2

AB

•

AA1

+2

AD

•

AA1

，再利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．
（2）連接AC、BD，相交于點(diǎn)O．利用菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD．OD=OB．再連接A₁B，A₁D，A₁O．利用已知可證明△A₁AB≌△A₁AD，得到A₁B=A₁D，利用等腰三角形的性質(zhì)可得A₁O⊥BD．再利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論．

解答：（1）解：如圖所示．
∵|

AB

|=|

AD

|=2，|

AA1

|=3，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴

AB

•

AD

=|

AB

|•|

AD

|×cos60°=2×2×

1

2

=2，

AB

•

AA1

=

AD

•

AA1

=|

AD

|•|

AA1

|×cos60°=2×3×

1

2

=3，
∵

AC1

=

AB

+

AD

+

AA1

，
∴

AC1

2=(

AB

+

AD

+

AA1

)2=

AB

2+

AD

2+

AA1

2+2

AB

•

AD

+2

AB

•

AA1

+2

AD

•

AA1

=2²+2²+3²+2×2+2×2×3=33．
∴|

AC1

|=

33

；
（2）證明：連接AC、BD，相交于點(diǎn)O．∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．OD=OB．
再連接A₁B，A₁D，A₁O．在△A₁AB和△A₁AD中，∵AB=AD，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，AA₁公用，
∴△A₁AB≌△A₁AD，∴A₁B=A₁D，又OD=OB，∴A₁O⊥BD．
∵A₁O與CC₁是相交直線，∴BD⊥對(duì)角面ACC₁A₁．
∴BD⊥CC₁．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間向量的加法法則、數(shù)量積的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形的全等判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．