Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

m

x

，m∈R
（I）當(dāng)m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，若函數(shù)f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有極值點，求實數(shù)a的范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f′（x）-

x

3

有兩個零點，試求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，有極值點就是導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有“變號零點”；
（2）有兩個零點就是函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，結(jié)合函數(shù)的極值取值情況即可解決問題．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=e時，f(x)=lnx+

e

x

，其定義域為（0，+∞）…（1分）f′(x)=

1

x

-

e

x2

=

x-e

x2

，
當(dāng)0＜x＜e時，f′(x)=

x-e

x2

＜0；當(dāng)x＞e時，f′(x)=

x-e

x2

＞0，
故f（x）在（0，e）單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
若函數(shù)f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有極值點，
須

a-1＜e a+1＞e a＞1

，解得e-1＜a＜e+1，
（Ⅱ）g(x)=f′(x)-

x

3

=

1

x

-

m

x2

-

x

3

=

3x-3m-x3

3x2

，其定義域為（0，+∞）
令g（x）=0，得m=-

1

3

x3+x
設(shè)h(x)=-

1

3

x3+x，其定義域為（0，+∞）．則g（x）的零點為h（x）與y=m的交點．
h'（x）=-x²+1=-（x+1）（x-1）

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	+	0	-
h（x）	↑	極大值	↓

故當(dāng)x=1時，h（x）取得最大值時h(1)=

2

3

作出h（x）的圖象，可得當(dāng)0＜m＜

2

3

時，g（x）有兩個零點．

點評：研究函數(shù)零點的個數(shù)問題屬于常考題型，一般是研究函數(shù)的極值點，單調(diào)性，再利用端點處、極值點處的函數(shù)值的符號來確定零點所在區(qū)間或個數(shù)等問題的解．