Question

已知平面區(qū)域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）為頂點的三角形內(nèi)部以及邊界組成．若在區(qū)域D上有無窮多個點（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則m=（　　）

• A、-2
• B、-1
• C、1
• D、4

Answer 1

分析：將目標(biāo)函數(shù)z=x+my化成斜截式方程后得：y=-

1

m

x+

1

m

z，若m＞0時，目標(biāo)函數(shù)值Z與直線族：y=-

1

m

x+

1

m

z截距同號，當(dāng)直線族y=-

1

m

x+

1

m

z的斜率與直線AC的斜率相等時，目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個；若m＜0時，目標(biāo)函數(shù)值Z與直線族：y=-

1

m

x+

1

m

z截距異號，當(dāng)直線族y=-

1

m

x+

1

m

z的斜率與直線BC的斜率相等時，目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，但此時是取目標(biāo)函數(shù)取最大值的最優(yōu)解為無數(shù)個，不滿足條件．

解答：解：依題意，滿足已知條件的三角形如下圖示：
令z=0，可得直線x+my=0的斜率為-

1

m

，
結(jié)合可行域可知當(dāng)直線x+my=0與直線AC平行時，
線段AC上的任意一點都可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，
而直線AC的斜率為

1-3

3-1

=-1，
所以-

1

m

=-1，解得m=1，
故選C．

增加網(wǎng)友的解法，相當(dāng)巧妙值得體會！請看：
依題意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m
解得 m∈空集，或m=1，或m∈空集，
所以m=1，選C．
評析：此解法妙在理解了在邊界處取到最小值這個命題的內(nèi)蘊，區(qū)域的三個頂點中一定有兩個頂點的坐標(biāo)是最優(yōu)解，故此兩點處函數(shù)值相等，小于第三個頂點處的目標(biāo)函數(shù)值，本題略去了判斷最優(yōu)解取到位置的判斷，用三個不等式概括了三種情況，從而解出參數(shù)的范圍，此方法可以在此類求參數(shù)的題中推廣，具有一般性！

點評：目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無數(shù)多個，處理方法一般是：①將目標(biāo)函數(shù)的解析式進行變形，化成斜截式；②分析Z與截距的關(guān)系，是符號相同，還是相反；③根據(jù)分析結(jié)果，結(jié)合圖形做出結(jié)論④根據(jù)斜率相等求出參數(shù)．