Question

【題目】在平面上，給定非零向量，對(duì)任意向量，定義.

（1）若，，求；

（2）若，證明：若位置向量的終點(diǎn)在直線上，則位置向量的終點(diǎn)也在一條直線上；

（3）已知存在單位向量，當(dāng)位置向量的終點(diǎn)在拋物線：上時(shí)，位置向量終點(diǎn)總在拋物線：上，曲線和關(guān)于直線對(duì)稱，問(wèn)直線與向量滿足什么關(guān)系？

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)證明 （3）直線與向量垂直

【解析】

（1）根據(jù)題意，算出7，10，代入的表達(dá)式并化簡(jiǎn)整理，即可得到（，）；（2）設(shè)（x'，y'），終點(diǎn)在直線Ax+By+C＝0上，由題中的表達(dá)式解出（x，y）滿足的關(guān)系式，從而得到點(diǎn)（，）在直線Ax+By+C＝0上，化簡(jiǎn)整理得到直線（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C＝0，說(shuō)明向量的終點(diǎn)也在一條直線上；（3）設(shè)，則，取，解出關(guān)于和t的坐標(biāo)形式，結(jié)合的終點(diǎn)在拋物線x2＝y(tǒng)上且終點(diǎn)在拋物線y2＝x上，建立關(guān)于和t的方程，化簡(jiǎn)整理得到±（，）．再由曲線C和C′關(guān)于直線l：y＝x對(duì)稱，算出l的方向向量滿足0，從而得到直線l與向量垂直．

（1）根據(jù)題意，7，10，∴.

（2）設(shè)，，則

，

∴

于是故，

從而，

由于、不全為零，所以，也不全為零.

于是的終點(diǎn)在直線上.

（3）設(shè)，則，對(duì)任意實(shí)數(shù)，取，

則

，

∵的終點(diǎn)在曲線上，

∴.①

由于為任意實(shí)數(shù)，比較①式兩邊的系數(shù)得

，，，

從而，，

∴.

對(duì)曲線中任意點(diǎn)，可知落在曲線上，反之亦然，故曲線：與曲線：關(guān)于直線：對(duì)稱，

的方向向量，∵，∴，即直線與向量垂直.