已知函數(shù)數(shù)學公式．
（1）求t的值；
（2）求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（3）設(shè)F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

解：（1）f（4）是f（x）的最小值
對f（x）求導，有f'（x）=（），
∴x=4時，f'（x）=0，∴=0，∴t=3；
（2）f'（x）==
∴在x∈（3，4）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)減，在x∈（4，7）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)增
∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了
∵f（3）=ln5，f（7）=
∴f（3）＞f（7），∴x=3時，f（x）在[3，7]上取得最大值，為ln5；
（3）F′（x）=-f′（x）=≥0在（2，+∞）上恒成立
∴≥0在（2，+∞）上恒成立
∴（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情況討論（a-1）x2+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況．
當a-1＜0時，顯然不可能有（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
當a-1=0時（a-1）x2+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
當a-1＞0時，又有兩種情況：①52+16（a-1）（a+1）≤0；
②-≤2且（a-1）×22+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a2+9≤0，無解；由②得a≥-，a-1＞0，∴a＞1
綜上所述各種情況，當a≥1時（a-1）x2+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范圍為[1，+∞）．
分析：（1）f（4）是f（x）的最小值，求導函數(shù)，即可求得結(jié)論；
（2）令導函數(shù)等于0求出x的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出最大值．
（3）對函數(shù)f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于等于0在R上恒成立即可求出a的范圍
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三10月月考文科數(shù)學試卷 題型：解答題

（14分）已知函數(shù)，

（1）當t＝1時，求曲線處的切線方程；

（2）當t≠0時，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）證明：對任意的在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)數(shù)學公式．
（1）求f（t）的值域G；
（2）若對于G內(nèi)的所有實數(shù)x，函數(shù)g（x）=x2-2x-m2有最小值-2，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）的圖象是在[a，b]上連續(xù)不斷的曲線，定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)數(shù)學公式．
（1）求f1（x），f2（x）的表達式；
（2）判斷f（x）是否為數(shù)學公式上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，請求對應(yīng)的k的值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）如果當x∈（t，a）時，f（x）的值域是（-∞，1），求a與t的值；
（3）對任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，請說明理由．

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