分析 根據(jù)題設(shè)條件,證明①和②是正確的.分別舉出反例,說(shuō)明③和④都是錯(cuò)誤的;
解答 解:在①中:在[1,3]上,f(2)=f(x+(4−x)2)≤12[f(x)+f(4-x)],
∴{f(x)+f(4−x)≥2f(x)≤f(x)max=f(2)=1f(4−x)≤f(x)max=f(2)=1,
故f(x)=1,
∴對(duì)任意的x1,x2∈[1,3],f(x)=1,
故①成立;
在②中,對(duì)任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],
有f(x1+x2+x3+x44)=f(12(x1+x2)+12(x3+x4)2)≤12[f(x1+x22)+f(x3+x42 )]
≤12[12(f(x1 )+f(x2))+12(f(x3)+f(x4))]
=14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],
∴f(x1+x2+x3+x44)≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],
故②成立.
在③中,反例:f(x)={(12)x,1≤x<32,x=3在[1,3]上滿足性質(zhì)P,
但f(x)在[1,3]上不是連續(xù)函數(shù),故③不成立;
在④中,反例:f(x)=-x在[1,3]上滿足性質(zhì)P,但f(x2)=-x2在[1,√3]上不滿足性質(zhì)P,
故④不成立;
故真命題的序號(hào)為:①②,
故答案為:①②
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)定義的理解,說(shuō)明一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤時(shí),只需舉出反例即可.說(shuō)明一個(gè)結(jié)論正確時(shí),要證明對(duì)所有的情況都成立.
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