Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC=

2

，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求異面直線AD與BE所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定定理證明PA∥平面EDB．
（Ⅱ）利用AD∥BC，將異面直線AD與BE所成的角，轉(zhuǎn)化為平面角．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，
∵四邊形ABCD為矩形，∴O為AC的中點(diǎn)．
∴OE為△PAC的中位線．
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB．…（6分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，∴∠CBE就是異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角．…（8分）
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PD．
又四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥DC．又因?yàn)镻D∩DC=D，
所以BC⊥平面PDC．
在Rt△BCE中BC=

2

，EC═

1

2

PC=

2

，∴∠CBE=

π

4

．
即異面直線AD 與BE所成角大小為

π

4

．                    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定，以及異面直線所成角的大小，要求熟練掌握空間直線和平面平行或垂直的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理．