Question

【題目】過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)、．

（1）求證：不是直角三角形．

（2）當(dāng)的斜率為時(shí)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在4個(gè)點(diǎn)，使為直角三角形： ，，，．

【解析】

（1）如圖，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)、的所有直線(xiàn)可設(shè)為，

與拋物線(xiàn)聯(lián)立．消去得，有．

進(jìn)而，．

又，得為鈍角．

故不是直角三角形．

（2）當(dāng)直線(xiàn)的方程為時(shí)，解方程組，

可得、．

假設(shè)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)，使為直角三角形，分三種情況討論．

（i）為直角．

此時(shí)，以為直徑的圓的方程為．

把點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入得

．

整理得．

因?yàn)辄c(diǎn)、在圓上，故當(dāng)時(shí)，必為方程的解．

注意到，

故方程可分解為．

異于點(diǎn)、的點(diǎn)必對(duì)應(yīng)方程的解，有，．

故使的點(diǎn)有兩個(gè)，．

（ii）為直角．

此時(shí)，以為直徑的圓的方程為．

把點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入得．

整理得．

解得對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

故存在使為直角三角形．

（iii）為直角．

此時(shí)，以為直徑的圓的方程為．

把點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入得．

整理得．

解得對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)．

故存在使為直角三角形．

綜上知，存在4個(gè)點(diǎn)，使為直角三角形：

，，，．