Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

anan+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)bn=

1

an

，Sn表示數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．試問：是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中條件點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，求出a_n與a_n+1的關(guān)系，便可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將（1）中求得的{a_n}的通項(xiàng)公式代入其中便可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，便可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式；
（3）存在，先根據(jù)題意求出Sn的表達(dá)式，然后求出S₁+S₂+S₃+…+S_n-1與（S_n-1）的關(guān)系，便可求出存在g（n）使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立．

解答：解：（1）由點(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，
數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）•1=n（n∈N^*）
（2）bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

2

((1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

))
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)；
（3）bn=

1

n

，可得Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，Sn-Sn-1=

1

n

(n≥2)
即nS_n-nS_n-1=1
∴nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，
nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，
（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1
…
2S₂-S₁=S₁+1
nS_n-S₁=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1+n-1，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=nS_n-n=n（S_n-1），n≥2，g（n）=n
故存在關(guān)于n的整式g（x）=n，使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．