在直角坐標(biāo)系中,A (1,t),C(-2t,2),(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),其中t∈(0,+∞).
(1)求四邊形OABC在第一象限部分的面積S(t);
(2)確定函數(shù)S(t)的單調(diào)區(qū)間,并求S(t)的最小值.
【答案】分析:(1)先根據(jù)題意可判定四邊形OABC的形狀,然后討論A在第一象限,B在第一象限,C在第二象限,然后利用S(t)=SOABC-S△OKC進(jìn)行求解,A在第一象限,B在y軸上或在第二象限,C在第二象限,根據(jù)S(t)=S△OAM進(jìn)行求解,最后利用分段函數(shù)表示即可;
(2)分別在每一段區(qū)間上利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)求S(t)的最小值.
解答:解:(1)∵,∴OABC為平行四邊形,
又∵,∴OA⊥OC,∴四邊形OABC為矩形.
=(1-2t,2+t),
當(dāng)1-2t>0,即0<t<時(shí),
A在第一象限,B在第一象限,C在第二象限,(如圖1)
此時(shí)BC的方程為:y-2=t(x+2t),
令x=0,得BC交y軸于K(0,2t2+2),
∴S(t)=SOABC-S△OKC=2(1-t+t2-t3).
當(dāng)1-2t≤0,即t≥時(shí),
A在第一象限,B在y軸上或在第二象限,C在第二象限,(如圖2)
此時(shí)AB的方程為:y-t=(x-1),令x=0,得AB交軸于M(0,t+),
∴S(t)=S△OAM=
∴S(t)=
(2)當(dāng)0<t<時(shí),S(t)=2(1-t+t2-t3),S′(t)=2(-1+2t-3t2)<0,
∴S(t)在(0,)上是減函數(shù).
當(dāng)t≥時(shí),S(t)=,S′(t)=,
∴S(t)在[,1]上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù).
∴當(dāng)t=1時(shí),S(t)有最小值為1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的解析式,同時(shí)考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值的求解,屬于中檔題.
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(1)試求點(diǎn)P的軌跡C1的方程;
(2)若點(diǎn)(x,y)在曲線C1上,求證:點(diǎn)(
x
3
,
y
2
2
)
一定在某圓C2上;
(3)過點(diǎn)C作直線l,與圓C2相交于M,N兩點(diǎn),若點(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn),試求直線l的方程.

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OB
=
OA
+
OC
(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),其中t∈(0,+∞).
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