Question

已知b＞-1，c＞0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（1）設(shè)b=?（c），求?（c）；
（2）是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)．若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）依題設(shè)可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，
∴為切點(diǎn)橫坐標(biāo)，
于是，化簡(jiǎn)得（b+1）²=4c．
得．
（2）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，
可得H'（x）=3x²+4bx+（b²+c）．
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依題設(shè)欲使函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)，
則須滿足
亦即 ，
又c＞0，∴
故存在常數(shù)，使得函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f'（x）=g'（x），即2x+b=1，得到為切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，得，化簡(jiǎn)得（b+1）²=4c．解方程，得．
（2）將已知函數(shù)代入，得：H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，求導(dǎo)數(shù)得H′（x）是一個(gè)二次函數(shù)，要使函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)，說(shuō)明方程H′（x）=0有兩個(gè)不同的根，再用根的判別式得到：，結(jié)合c＞0，∴，故存在常數(shù)c，使得函數(shù)
H（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，屬于中檔題．