Question

已知方程組

(x-2)3+2x+sin(x-2)=2 (y-2)3+2y+sin(y-2)=6

，求x+y的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)f（t）=t³+2t+sint，利用函數(shù)f（t）的奇偶性和單調(diào)性解方程即可．

解答： 解：∵（x-2）³+2x+sin（x-2）=2，
∴（x-2）³+2（x-2）+sin（x-2）=2-4=-2，
∵（y-2）³+2y+sin（y-2）=6，
∴（y-2）³+2（y-2）+sin（y-2）=6-4=2，
設(shè)f（t）=t³+2t+sint，
則f（t）為奇函數(shù)，且f′（t）=3t²+2+cost＞0，
即函數(shù)f（t）單調(diào)遞增．
由題意可知f（x-2）=-2，f（y-2）=2，
即f（x-2）+f（y-2）=2-2=0，
即f（x-2）=-f（y-2）=f（2-y），
∵函數(shù)f（t）單調(diào)遞增
∴x-2=2-y，
即x+y=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵在于把已知的兩等式變形，進(jìn)一步構(gòu)造出奇函數(shù)f（t）=t³+2t+sint，題目綜合性較強(qiáng)，屬中高檔題．