Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：（為常數(shù)，且，）．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值；

（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由與關(guān)系求通項(xiàng)，注意分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，由，相減得，因此是等比數(shù)列，且公比是，所以（2）先代入化簡(jiǎn)得，由數(shù)列為等比數(shù)列得，解得，最后驗(yàn)證（3）先求前項(xiàng)和為，代入化簡(jiǎn)不等式得，所以只需求最大值，利用相鄰兩項(xiàng)關(guān)系求數(shù)列單調(diào)性，確定最大值

試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，，得．

當(dāng)時(shí)，由，即，①

得，②

①②，得，即，∴（），

∴是等比數(shù)列，且公比是，∴．

（2）由（1）知，，即，

若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，

而，，，

故，解得，

再將代入，得，

由，知為等比數(shù)列，∴．

（3）由，知，∴，

∴，

由不等式恒成立，得恒成立，

設(shè)，由，

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

而，，∴，

∴，∴．