【題目】已知函數(shù).

(1)求的單調區(qū)間;

(2)證明:當時,方程在區(qū)間上只有一個解;

(3)設,其中.若恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1)在上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.(2)見解析(3)

【解析】分析:(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;

(2)求出函數(shù)的導函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調性,得到函數(shù)的零點個數(shù),求出方程在的解的個數(shù)即可;

(3),,根據(jù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最小值, ,求出的范圍即可.

詳解:(1)由已知.

所以,在區(qū)間,函數(shù)上單調遞減,

在區(qū)間,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.

(2)設,.

,由(1)知,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.

.

所以,在區(qū)間上只有一個零點,方程在區(qū)間上只有一個解.

(3)設,,定義域為,

,則,

由(2)知,在區(qū)間上只有一個零點,是增函數(shù),

不妨設的零點為,則

所以,在區(qū)間上的情況如下:

-

0

+

所以,函數(shù)的最小值為,

,

,得,

所以.

依題意,即,解得,

所以,的取值范圍為.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)現(xiàn)從盒子中一次隨機取出1張卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上寫著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片,否則繼續(xù)取出卡片.設取出了次才停止取出卡片,求的分布列和數(shù)學期望.

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優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

甲班

10

乙班

30

總計

105

已知在全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.

(1)請完成上面的列聯(lián)表;

(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按95%的可靠性要求,能否認為成績與班級有關系”?

參考公式:K2

P(K2k0)

0.10

0.05

0.025

0.010

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

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