Question

10．將20個(gè)相同的球全部放入編號(hào)為1，2，3的盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法共有120種．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，首先在20個(gè)球種取出1個(gè)球放到編號(hào)為2的盒子里，再取出2個(gè)球放在編號(hào)為3的盒子里，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“將剩下的17個(gè)球，分為3組，每組至少一個(gè)，分別放到三個(gè)盒子里”，用擋板法分析：將17個(gè)球排成一列，排好后，有16個(gè)空位，在16個(gè)空位中任取2個(gè)，插入擋板，由組合數(shù)公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，先在20個(gè)球種取出1個(gè)球放到編號(hào)為2的盒子里，再取出2個(gè)球放在編號(hào)為3的盒子里，
此時(shí)只需將剩下的17個(gè)球，分為3組，每組至少一個(gè)，分別放到三個(gè)盒子里即可；
將17個(gè)球排成一列，排好后，有16個(gè)空位，
在16個(gè)空位中任取2個(gè)，插入擋板，有C₁₆²=120種方法，即有120種將17個(gè)球分為3組的方法，
將分好的3組對(duì)應(yīng)3個(gè)盒子，即可滿足盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)，
則盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒號(hào)數(shù)的放入方法有120種，
故答案為：120．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的運(yùn)用，解答的關(guān)鍵在于將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為16個(gè)球的分組問(wèn)題，用擋板法進(jìn)行分析．