Question

18．已知雙曲線$C：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一條漸近線與函數(shù)y=1+lnx+ln2的圖象相切，則雙曲線C的離心率是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)（m，n），則n=$\frac{a}$m，n=1+lnm+ln2，求導(dǎo)數(shù)，利用漸近線與函數(shù)y=1+lnx+ln2的圖象相切，求出$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，即可求出雙曲線Γ的離心率．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)（m，n），則n=$\frac{a}$m，n=1+lnm+ln2，
∵y=1+lnx+ln2，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
∴$\frac{1}{m}=\frac{a}$，
∴n=1，m=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線Γ的離心率，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．