Question

一個盒子裝有標號為1，2，3，4，5，6且質(zhì)地相同的標簽各若干張，從中任取1張標簽所得的標號為隨機變量X，記P（X≤i）=P（X=1）+P（X=2）+…+P（X=i），i=1，2，…，6．若P(X≤i)=

i2+ai

42

（其中a為常數(shù)）
（1）求a的值以及隨機變量X的數(shù)學期望EX；
（2）有放回地每次抽取1張標簽，求得到兩張標簽上的標號之和為4的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的隨機變量的分布列，由分布列中各個概率之和是1，得到關(guān)于a的方程，解出a的值，根據(jù)所求的結(jié)果，仿寫一個i-1的概率，兩個相減，得到變量對應(yīng)的概率，驗證 當變量等于1時，也滿足式子，得到分布列，求出期望值．
（2）有放回地每次抽取1張標簽，得到兩張標簽上的標號之和為4，包括三種情況，即取到的數(shù)字是1，3；2，2；3，1，三個事件關(guān)系為互斥事件，且第一次與第二次的抽取相互獨立，根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵P(X≤i)=

i2+ai

42

，
∴P（X≤6）=

62+6a

42

=1，
∴a=1，
∴P（X≤i）=

i2+i

42

，
當i≥2時，P（X=i）=P（X≤i）-P（X≤i-1）
=

i2+i

42

-

(i-1)2+(i-1)

42

=

i

21

，
當i=1時，驗證也符合這個函數(shù)式，
總上可知P（X=i）=

i

21

，i=1，2，3，4，5，6，
∴EX=1×

1

21

+2×

2

21

+3×

3

21

+4×

4

21

+5×

5

21

+6×

6

25

=

13

3

（2）記第一次抽到1，第二次抽到3為事件A，
第一次抽到3，第二次抽到1為事件B，
第一次抽到2，第二次抽到2為事件C
三個事件關(guān)系為互斥事件，且第一次與第二次的抽取相互獨立，
∴P（A）=P（X=1）P（X=3）=

3

441

P（B）=P（X=3）P（X=1）=

3

441

P（C）=P（X=2）P（X=2）=

4

441

∴要求的概率是P（A）+P（B）+P（C）=

3

441

+

3

441

+

4

441

=

10

441

即得到兩張標簽上的標號之和為4的概率為

10

441

點評：本題考查隨機變量的分布列的概念，性質(zhì)及其表示，考查互斥事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查運算求解能力，是一個綜合題目．