Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin\frac{πx}{4}，2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄，滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則$\frac{（{x}_{3}-2）（{x}_{4}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$的取值范圍是（0，12）．

Answer 1

分析 做出f（x）的函數(shù)圖象，求出x₁，x₂，x₃，x₄的范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出x₁x₂=1，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性得出x₃+x₄=12，代入式子化簡得出關(guān)于x₃的二次函數(shù)，根據(jù)x₃的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄，滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），
∴$\frac{1}{2}$＜x₁＜1，1＜x₂＜2，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，
∵-log₂x₁=log₂x₂，∴l(xiāng)og₂$\frac{1}{{x}_{1}}$=log₂x₂，∴x₁x₂=1，
∵y=sin$\frac{πx}{4}$關(guān)于直線x=6對(duì)稱，∴x₃+x₄=12，
∴$\frac{（{x}_{3}-2）（{x}_{4}-2）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₃-2）（x₄-2）=（x₃-2）（12-x₃-2）=-x₃²+12x₃-20=-（x₃-6）²+16，
令g（x₃）=-（x₃-6）²+16，則g（x₃）在（2，4）上是增函數(shù)，
∵g（2）=0，g（4）=12，
∴0＜g（x₃）＜12．
故答案為（0，12）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)圖象的圖象，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．