Question

7．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示，這使得我們可以用向量作為解析幾何的研究工具，例如，設(shè)直線l的傾斜角α（α≠90°），在l上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P₁（x₁，y₂），P₂（x₂，y₂），不妨設(shè)向量$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$的方向是向上的，那么向量$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$的坐標(biāo)為（x₂-x₁，y₂-y₁），過(guò)原點(diǎn)作向量$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₂-x₁，y₂-y₁），而直線OP的傾斜角也是α（α≠90°），根據(jù)正切函數(shù)的定義得k=tanα=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{x{\;}_2-{x_1}}}$；利用向量工具研究下列直線Ax+By+C=0，（ABC≠0）有關(guān)問(wèn)題；
（1）、判斷向量$\overrightarrow m$=（A，B）與直線Ax+By+C=0的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）、直線A₁x+B₁y+C₁=0與直線A₂x+B₂y+C₂=0相交，求兩直線夾角的余弦值；
（3）、用向量知識(shí)推導(dǎo)點(diǎn)P₀（x₀，y₀）到直線Ax+By+C=0，（ABC≠0）的距離公式．

Answer 1

分析 （1）直線的方向向量為$\overrightarrow{m}$=（-B，A），$\overrightarrow{m}$=（A，B），可得向量$\overrightarrow m$=（A，B）是直線Ax+By+C=0的法向量；
（2）直線A₁x+B₁y+C₁=0與直線A₂x+B₂y+C₂=0相交D，在直線A₁x+B₁y+C₁=0與直線A₂x+B₂y+C₂=0上分別取P，Q，可得兩直線夾角的余弦值=|$\frac{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{DQ}|}$|；
（3）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求出$\overrightarrow{{P}_{0}R}$在直線的單位法向量上的投影的絕對(duì)值即可．

解答 解：（1）直線的方向向量為$\overrightarrow{m}$=（-B，A），$\overrightarrow{m}$=（A，B），
∴向量$\overrightarrow m$=（A，B）是直線Ax+By+C=0的法向量；
（2）直線A₁x+B₁y+C₁=0與直線A₂x+B₂y+C₂=0相交D，
在直線A₁x+B₁y+C₁=0與直線A₂x+B₂y+C₂=0上分別取P，Q，則兩直線夾角的余弦值=|$\frac{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{DQ}|}$|；
（3）設(shè)R是直線上任意一點(diǎn)，則R（x，y），直線的方向向量為$\overrightarrow{m}$=（-B，A），
則可取直線法向量為$\overrightarrow{m}$=（A，B），
$\overrightarrow{{P}_{0}R}$=（x-x₀，y-y₀）
∴d=$\frac{|A（x-{x}_{0}）+B（y-{y}_{0}）|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查了點(diǎn)到直線的距離公式、兩直線夾角的余弦值的證明方法、類比推理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．