Question

在長、株、潭三市獲國務(wù)院批準的“兩型城市后”后，省政府決定關(guān)閉一批高能耗、高污染的中小型企業(yè)，并制定對企業(yè)的轉(zhuǎn)崗員工的經(jīng)濟補助方案如下：第一年到政府社保部門領(lǐng)取關(guān)閉前工資的100%，從二年起，以后每年在社保部門按上一年補助金的

2

3

發(fā)放經(jīng)濟補助金．同時政府負責對企業(yè)進行調(diào)整改造，轉(zhuǎn)型為轉(zhuǎn)崗人員再就業(yè)的經(jīng)濟實體，經(jīng)濟實體第一年為投資階段沒有利潤，第二年每人可獲得利潤分紅收入b元，根據(jù)市場預(yù)測，從第三年起利潤分紅收入可以在上一年的基礎(chǔ)上增加50%．如果某員工轉(zhuǎn)崗前的工資收入為a元，轉(zhuǎn)崗后第n年的收入為a_n元．
（1）試用轉(zhuǎn)崗后的年數(shù)n表示該員工的經(jīng)濟總收入a_n；
（2）若b=

8

27

a該員工哪年的總經(jīng)濟收入最少？并求最少收入；
（3）若b≥

3

8

a，問是否一定可以保證該員工轉(zhuǎn)崗一年后的總收入永遠超過轉(zhuǎn)崗前的收入？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)便可寫出試用轉(zhuǎn)崗后的年數(shù)n表示該員工的經(jīng)濟總收入a_n的表達式；
（2）將）b=

8

27

a代入數(shù)列a_n的表達式中，根據(jù)不等式的性質(zhì)便可求得當n=3時，該員工的收入最少；
（3）根據(jù)題意先寫出an的表達式，然后將b≥

3

8

a代入a_n的表達式，然后討論數(shù)列a_n的最小值，即可說明b≥

3

8

時，該員工轉(zhuǎn)崗一年后的收入永遠超過轉(zhuǎn)崗前的收入．

解答：解（1）依題設(shè)，當n=1時，a₁=a，
當n≥2時，an=a(

2

3

)n-1+b(1+

1

2

)n-2，
故有an=

a(當n=1時) a( 2 3 )n-1+b( 3 2 )n-2(當n≥2時)

（2）由已知b=

8

27

a，
當n≥2時，a_n=a（

2

3

）^n-1+

8

27

a(

3

2

)n-2≥2

a( 2 3 )n-1• 8 27 a( 3 2 )n-2

=

8

9

a
當且僅當a（

2

3

）^n-1=

8

27

a，即n=3時，不等式成立
，因此，該員工第三年的收入最少，最少收入為

8

9

a元．

（3）當n≥2時，a_n=a（

2

3

）^n-1+b（

3

2

）^n-2≥a(

2

3

)n-1+

3

8

a(

3

2

)n-2≥2

a( 2 3 )n-1• 3 8 a( 3 2 )n-2

，
當且僅當

b= 3 8 a ( 2 3 )n-1= 3 8 ( 3 2 )n-2

，即

b= 3 8 a a=1+log( 2 3 )( 1 2 )

時，等號才能同時成立；
而1+log_

2

3

1

2

＞1+log_

2

3

2

3

=2，且（1+log_

2

3

1

2

）∈N*，故等號不能同時成立，
但當n=2時，a₂=

2

3

a+

3

8

a=

25

24

a＞a；
綜合上所述，當b≥

3

8

時，一定可以保證該員工轉(zhuǎn)崗一年后的收入永遠超過轉(zhuǎn)崗前的收入．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列的實際應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．