【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間的最小值為，試比較與的大小.

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）因為，，可得，分別討論，和函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案；

（2）求得函數(shù)在區(qū)間的最小值，構(gòu)造函數(shù)（），求其最值，即可求得答案.

，.

①當(dāng)

當(dāng)，即，

此時在是單調(diào)遞增

當(dāng)，即，

此時在是單調(diào)遞減

②當(dāng)

ⅰ.當(dāng)時，即，不符題意；

ⅱ.當(dāng)時，即，不符題意；

ⅲ. 當(dāng)時，即，故

由，解得，

則當(dāng)或，，此時是單調(diào)遞增；

當(dāng)，，此時是單調(diào)遞減.

③當(dāng)

ⅰ.當(dāng)時，即

則在恒成立，此時是單調(diào)遞減

ⅱ.當(dāng)時，即，

則在恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立

此時此時在是單調(diào)遞減

ⅲ. 當(dāng)時，即

故

由，解得，

則當(dāng)或，，此時是單調(diào)遞減；

當(dāng)，，此時是單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時，

則當(dāng)或，，此時是單調(diào)遞增；

當(dāng)，，此時是單調(diào)遞減.

函數(shù)在區(qū)間上，

當(dāng)，單調(diào)遞減.

當(dāng)，單調(diào)遞增.

當(dāng)，取得最小值，

令，（）

即

可得：（）

當(dāng)，，可得單調(diào)遞減；

當(dāng)，，可得單調(diào)遞增；

當(dāng)時，取的最小值，

故

故

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：

等級

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

24

（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，已知，，，.是線段的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.

（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知長度為的線段的兩個端點分別在軸和軸上運動，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點，且斜率不為零的直線與曲線交于兩點，在軸上是否存在定點，使得直線與的斜率之積為常數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)以及此常數(shù)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險的基準(zhǔn)保費為a元，在下一年續(xù)保時，實行費率浮動機制，保費與車輛發(fā)生道路交通事故出險的情況相聯(lián)系，最終保費基準(zhǔn)保費（與道路交通事故相聯(lián)系的浮動比率），具體情況如下表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表

類別

浮動因素

浮動比率

上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

上浮

上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮

為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了100輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計如下表：

類型

數(shù)量

20

10

10

38

20

2

若以這100輛該品牌的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，則隨機抽取一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用的期望為（ ）

A.a元B.元C.元D.元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是（ ）

A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為

B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為

C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為

D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作，調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶，從中隨機抽取了60名，統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.

（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將列聯(lián)表補充完整，并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機支付族”與“性別”有關(guān)？

（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數(shù)為，求隨機變量的期望和方差；

（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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