Question

已知f（x）=

kx+1，x≤0 lnx x ，x＞0

，則關(guān)于F（x）=f（f（x））+a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷正確的是（　　）

• A、k＜0時(shí)，若a≥e，則有2個(gè)零點(diǎn)
• B、k＞0時(shí)，若a＞e，則有4個(gè)零點(diǎn)
• C、無(wú)論k為何值，若-

  1

  e

  ＜a＜0，都有2個(gè)零點(diǎn)
• D、k＞0時(shí)，若0≤a＜e，則有3個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為分段函數(shù)，函數(shù)y=f（f（x））+a為復(fù)合函數(shù)，故需要分類討論，確定函數(shù)y=f（f（x））+a的解析式，從而可得函數(shù)y=f（f（x））+a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

解答：解：∵f（x）=

kx+1，x≤0 lnx x ，x＞0

，
（1）x＞1時(shí)，lnx＞0，

lnx

x

＞0，
∴y=f（f（x））+a=

ln lnx x +a lnx x

lnx x

，此時(shí)的零點(diǎn)為x=1不滿足要求，
（2）0＜x＜1時(shí)，lnx＜0lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，則k＞0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，k＜0時(shí)，klnx+1＞0沒(méi)有零點(diǎn)；
（3）若x＜0，kx+1≤0時(shí)，y=f（f（x））+1=k²x+k+1，則k＞0時(shí)，kx≤-1，k²x≤-k，可得k²x+k≤0，y有一個(gè)零點(diǎn)，
若k＜0時(shí)，則k²x+k≥0，y沒(méi)有零點(diǎn)，
（4）若x＜0，kx+1＞0時(shí)，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，則k＞0時(shí)，即y=0可得kx+1=

1

e

，y有一個(gè)零點(diǎn)，k＜0時(shí)kx＞0，y沒(méi)有零點(diǎn)，
綜上可知，當(dāng)k＞0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k＜0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分類討論確定函數(shù)y=f（f（x））+a的解析式，考查學(xué)生的分析能力，是一道難題；