Question

0＜a＜1，0＜b＜1且a^b=b^a，試比較a與b的大小．

Answer 1

分析：分a＞b、a＜b、及a=b三種情況討論，a＞b＜時(shí)，等式兩邊同時(shí)除以 b^b后分析等式兩邊能否相等；
a＜b時(shí)，等式兩邊同時(shí)除以 a^a后分析等式兩邊能否相等．

解答：解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，且a^b=b^a，∴

a

b

＞1，
當(dāng)a＞b時(shí)應(yīng)有(

a

b

)b=b^a-b，此等式的左邊大于1，右邊大于0且小于1，故此等式不成立，
故a＞b不可能．
當(dāng)a＜b時(shí)，

b

a

＞1，由條件得 a^b-a=(

b

a

)a，此等式的左邊大于0且小于1，
右邊大于1，故此等式不成立，故a＜b不可能．
當(dāng)a=b時(shí)，a^b=b^a 恒成立，
綜上，只有a=b．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，比較2個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．