Question

函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，圖象過原點(diǎn)，且．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）已知各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，滿足，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，圖象過原點(diǎn)，可得a=0，b=c，結(jié)合，可求函數(shù)的解析式，求導(dǎo)函數(shù)，可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由已知可得，當(dāng)n≥2時(shí)，，兩式相減，可求數(shù)列的通項(xiàng)，于是，待證不等式即為．為此，我們考慮證明不等式．
解答：（1）解：∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，圖象過原點(diǎn)
∴a=0，b=c
∵，b=2n，n∈N^*，∴b=2
∴（x≠1），∴f
令f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（1，2）
（2）證明：由已知可得，當(dāng)n≥2時(shí)，
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n-a_n-1=-1（各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)）
當(dāng)n=1時(shí)，，∴a_n=-n…8
于是，待證不等式即為．
為此，我們考慮證明不等式…10
令，則t＞1，
再令g（t）=t-1-lnt，由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g（t）單調(diào)遞增
∴g（t）＞g（1）=0，∴t-1＞lnt
即①…12
令，
由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0，∴當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，h（t）單調(diào)遞增
∴h（t）＞h（1）=0，于是，即②…14
由①、②可知
所以，，即…16
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，同時(shí)考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．