Question

如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
（1）求證：C′E∥面AB′D′；
（2）求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值；
（3）求四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分體積．

Answer 1

分析：（1）取B'D'的中點為F，連AF，C′F，根據三角形中位線定理，可得AFC′F為平行四邊形，進而AF∥C'E，由線面平行的判定定理即可得到C′E∥面AB′D′；
（2）取BC中點為G，易得AD，DG，DD’相互垂直，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，分別求出面ADD'的法向量和面ABD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到答案；
（3）設B’D與BD的交點為O，由圖得四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分為四棱錐O-ABCD，分別求出棱錐的底面面積和高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（1）如圖取B'D'的中點為F，連AF，C′F，
易得AFC′F為平行四邊形．
∴AF∥C'E，
又AF?平面AB′D′，
∴C′E∥面AB′D′..（4分）
解：（2）因ABCD為菱形，且∠DCB=60°，取BC中點為G
易得AD，DG，DD’相互垂直，故分別以之為x，y，z軸建立坐標系如圖．
由棱長為2得A(2，0，0)，B′(1，

3

，2)，D′(0，0，2)
進而得面ADD'的一個法向量為(1，-

3

3

，1)，又面ABD的法向量為（0，0，1）
所以面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值
cosθ=

(1，- 3 3 ，1)•(0，0，1)

21 3

=

21

7

（3）設B’D與BD的交點為O，
由圖得四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分為四棱錐O-ABCD，
且O到下底面的距離為1，
SABCD=2×

1

2

×2×2sin600=2

3

所以公共部分的體積為

1

3

×2

3

×1=

2 3

3

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，（1）的關鍵是證得AF∥C'E，（2）的關鍵是求出面ADD'的法向量和面ABD的法向量，（3）的關鍵是確定四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分為四棱錐O-ABCD．