Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=2．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法求出直線l的直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)得到曲線C的普通方程；
（Ⅱ）利用參數(shù)法求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．

解答 解：（Ⅰ）由ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=2得ρ（$\sqrt{3}$sinθ-cosθ）=4，
∴l(xiāng)：x-$\sqrt{3}y+4=0$…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$得C：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．…（5分）
（Ⅱ）在C上任取一點(diǎn)P（cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），則點(diǎn)P到直線l的距離為d=$\frac{|cosθ-3sinθ+4|}{2}$=$\frac{|\sqrt{10}cos（θ+α）+4|}{2}$．…（7分）
∴當(dāng)cos（θ+α）=1，d_max=2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．