Question

）如圖，橢圓：，、、、為橢圓的頂點(diǎn)

（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，求橢圓方程；

（Ⅱ）已知:直線相交于，兩點(diǎn)（不是橢圓的左右頂點(diǎn)），并滿足 試研究：直線是否過定點(diǎn)？ 若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得：，解這個(gè)方程組求出a、c即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（Ⅱ）將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，

將直線方程代入橢圓方程得：

用韋達(dá)定理找到點(diǎn)，的坐標(biāo)與k、m的關(guān)系

再由可得A、B的坐標(biāo)間的一個(gè)關(guān)系式，由此消去得m、k之間的關(guān)系式，用此關(guān)系式將直線的方程中的參數(shù)m或k換掉一個(gè)，由此即可看出直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn) 

試題解析：（Ⅰ）由已知與（Ⅰ）得：，，

，， 

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為    4分

（Ⅱ）設(shè)，，

聯(lián)立

得，

又，

因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)為，

，即，

，

，

 

解得：

，，且均滿足，

當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn) 

所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 

考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系