Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求f（x）的最大值、最小值，及其取得最值時(shí)自變量的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），有三角函數(shù)的周期性及其求法可求周期；
（2）利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)三角形函數(shù)的取值范圍，求出最值，以及自變量的取值集合．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}$+sin4xsin$\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$；
（2）遞減區(qū)間滿足：$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴遞減區(qū)間為[$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．
遞增區(qū)間滿足：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴遞增區(qū)間為[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]．k∈Z．
∴f（x）在[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]．k∈Z為增函數(shù)，在[$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z為減函數(shù)；
（3）當(dāng){x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為2，
當(dāng){x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，最小值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最小正周期、遞減區(qū)間和遞增區(qū)間的求法，注意正弦加法定理、余弦加法定理、正弦函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．