Question

已知不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

1

12

loga(a-1)+

2

3

對于一切大于1的自然數n都成立．
求證：實數a的取值范圍是1＜a＜

1+ 5

2

．

Answer 1

分析：先設f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

(n∈N，n≥2)，利用單調性的定義證得f（n）是關于n（n∈N，n≥2）的遞增函數，從而有f(n)≥f(2)=

7

12

．要使原不等式成立，只需

1

12

loga(a-1)+

2

3

＜

7

12

，解此不等式即得．

解答：證明：設f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

(n∈N，n≥2)，
∴f(n+1)-f(n)=[

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2(n+1)

]-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
∴f（n）是關于n（n∈N，n≥2）的遞增函數，
∴f(n)≥f(2)=

7

12

．
要使原不等式成立，只需：

1

12

loga(a-1)+

2

3

＜

7

12

，
即log_a（a-1）＜-1，
從而

a-1＞0 a-1＜ 1 a

，⇒

a＞1 1- 5 2 ＜a＜ 1+ 5 2

．
∴1＜a＜

1+ 5

2

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、不等式的證明、進行簡單的演繹推理、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．