Question

2．如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，點E、F、H分別是線段PB、AC、PA的中點．
（1）求證：EF∥平面APD；
（2）求異面直線HF與CD的夾角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結AC、BD，交于F，推導出EF∥PD，由此能證明EF∥平面APD．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線HF與CD的夾角的正切．

解答 證明：（1）正方形ABCD中，連結AC、BD，交于F，
∵點E、F、H分別是線段PB、AC、PA的中點，
∴EF∥PD，
∵EF?平面APD，PD?平面APD，
∴EF∥平面APD．
解：（2）∵點P是正方形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA=AB=2，點E、F、H分別是線段PB、AC、PA的中點，
∴C（2，2，0），D（0，2，0），H（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），
$\overrightarrow{HF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），
設異面直線HF與CD的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{HF}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{HF}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$．
∴異面直線HF與CD的夾角的正切為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的正切的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．