Question

（2012•浦東新區(qū)三模）已知集合A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性質(zhì)P：對任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j與a_j-a_i至少一個屬于A．
（1）分別判斷集合M={0，2，4}與N=（1，2，3）是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（2）①求證：0∈A；②求證：a₁+a₂+a3+…+a_n=

n

2

an；
（3）研究當(dāng)n=3，4和5時，集合A中的數(shù)列{a_n}是否一定成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，可以判斷集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P，N={1，2，3}不具有性質(zhì)P；
（2）①若數(shù)列A具有性質(zhì)P，則a_n+a_n=2a_n與a_n-a_n=0兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，從而可得0∈A；
②令j=n，i＞1，可得a_n-a_i屬于A，證明a_n=a_i+a_n+1-i，倒序相加即可得到結(jié)論；
（3）確定a₁=0，再利用新定義，即可判斷具有性質(zhì)P的集合A中的數(shù)列{a_n}是否一定成等差數(shù)列．

解答：（1）解：集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P，N={1，2，3}不具有性質(zhì)P．
∵集合M={0，2，4}中，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i≤j≤2）兩數(shù)中都是該數(shù)列中的項，4-2是該數(shù)列中的項，
∴集合M={0，2，4}具有性質(zhì)P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，則由題意得3+3和3-3至少一個一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是這個集合的元素，而此集合沒有0，故不具有性質(zhì)P；
（2）證明：①若數(shù)列A具有性質(zhì)P，則a_n+a_n=2a_n與a_n-a_n=0兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，
∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3，而2a_n不是該數(shù)列中的項，∴0是該數(shù)列中的項，
∴0∈A；
②令j=n，i＞1，則∵“a_i+a_j與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個屬于A”，
∴a_i+a_j不屬于A，∴a_n-a_i屬于A
令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合A中某項，a₁不行，是0，a₂可以．
如果是a₃或者a₄，那么可知a_n-a₃=a_n-1，那么a_n-a₂＞a_n-a₃=a_n-1，只能是等于a_n了，矛盾．
所以令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，
同理，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，
∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+an=

n

2

an；
（3）解：n=3時，∵數(shù)列a₁，a₂，a₃具有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₂+a₃與a₃-a₂至少有一個是該數(shù)列中的一項，
∵a₁=0，a₂+a₃不是該數(shù)列的項，∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂，數(shù)列{a_n}一定成等差數(shù)列；
n=4時，∵數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄具有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
∴a₃+a₄與a₄-a₃至少有一個是該數(shù)列中的一項，
∵a₃+a₄不是該數(shù)列的項，∴a₄-a₃=a₂，或a₄-a₃=a₃，
若a₄-a₃=a₂，則數(shù)列{a_n}一定成等差數(shù)列；若a₄-a₃=a₃，則數(shù)列{a_n}不一定成等差數(shù)列；
n=5時，∵數(shù)列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅有性質(zhì)P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
∴a₄+a₅與a₅-a₄至少有一個是該數(shù)列中的一項，
∵a₄+a₅不是該數(shù)列的項，∴a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，或a₅-a₄=a₄，
若a₅-a₄=a₄，a₄-a₃=a₂，則數(shù)列{a_n}一定成等差數(shù)列；若a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，則數(shù)列{a_n}不一定成等差數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的應(yīng)用知識分析、解決問題的能力，屬于難題．