如圖，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長與底邊長都為，點M，N分別在PA，BD上，且．

（1）求證：MN⊥AD；
（2）求MN與平面PAD所成角的正弦值．

（1）詳見解析，（2）

解析試題分析：（1）首先表示正四棱錐各點坐標(biāo)，再準(zhǔn)確把垂直關(guān)系的判定轉(zhuǎn)化為對應(yīng)向量數(shù)量積為零，利用坐標(biāo)形式進行計算，（2）直線與平面所成的角的計算，關(guān)鍵仍是平面的法向量的計算.利用向量垂直列出方程組，可解出法向量；再利用數(shù)量積，根據(jù)法向量與直線方向向量的余弦值的絕對值求直線與平面所成角的正弦值. 由于直線與平面所成角與法向量與直線方向向量的夾角不是相等或互補關(guān)系，而是互余或相差因此直線與平面所成角的正弦值等于法向量與直線方向向量的余弦值的絕對值，這是本題易錯點.
試題解析：（1）因為正四棱錐的側(cè)棱長與底邊長都為.
     2分
則

則     4分

     5分
（2）設(shè)平面的法向量為

由得
取得
     7分
則     9分
設(shè)與平面所成角為
則
所以與平面所成角的正弦值為     10分
考點：向量數(shù)量積，向量垂直，直線與平面所成角.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在棱長為2的正方體中，為的中點.
（1）求證：∥；
（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC,PB的中點.

(Ⅰ)求證:PB⊥DM;
(Ⅱ)求點B到平面PAC的距離.

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如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結(jié)、、,其中.

(Ⅰ)求證:平面；
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.

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如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，四邊形為矩形，若，，.

（1）求證：面；
（2）求二面角的余弦值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，邊長為4的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點，AF=3．

（I）求證：DA⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求證：MN∥平面CDFE;
（Ⅲ）在線段FE上是否存在一點P，使得AP⊥MN? 若存在，求出FP的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F(xiàn),G,H分別為BP,BE,PC的中點。

（Ⅰ）求證：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅱ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正方體中，已知是棱的中點．

求證：（1）平面，
（2）直線∥平面；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB1＝，M是線段B1D1的中點．

(1)求證：BM∥平面D1AC；
(2)求證：D1O⊥平面AB1C；
(3)求二面角B-AB1-C的大�。�

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