8.我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.通過普通高中課程實驗教科書《數(shù)學(xué)》2-1第二章《圓錐曲線與方程》章頭引言我們知道,用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個圓.實際上,設(shè)圓錐母線與軸所成角為α,不過圓錐頂點的截面與軸所成角為θ.當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$,截口曲線為圓,當(dāng)$α<θ<\frac{π}{2}$時,截口曲線為橢圓;當(dāng)0≤θ<α?xí)r,截口曲線為雙曲線; 當(dāng)θ=α?xí)r,截口曲線為拋物線;如圖2,正方體ABCD-A′B′C′D′中,M為BC邊的中點,點P在底面A′B′C′D′上運動并且使∠MAC′=∠PAC′,那么點P的軌跡是( 。
A.一段雙曲線弧B.一段橢圓弧C.一段圓弧D.一段拋物線弧

分析 以A點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,可求得A,C′,M等點的坐標(biāo),從而可求得cos∠MAC′,設(shè)設(shè)AC′與底面A′B′C′D′所成的角為θ,繼而可求得cosθ,比較θ與∠MAC′的大小,利用正圓錐曲線被與中心軸成θ的平面所截曲線,即可得到答案.

解答 解:P點的軌跡實際是一個正圓錐面和兩個平面的交線;
這個正圓錐面的中心軸即為AC′,頂點為A,頂角的一半即為∠MAC′;
以A'點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,1),C′(1,1,0),M($\frac{1}{2}$,1,1),
∴$\overrightarrow{AC′}$=(1,1,-1),$\overrightarrow{AM}$=($\frac{1}{2}$,1,0),
∵cos∠MAC′=$\frac{1×\frac{1}{2}+1×1}{\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{4}+1}}$=$\frac{\sqrt{135}}{15}$,
設(shè)AC′與底面A′B′C′D′所成的角為θ,則cosθ=$\frac{|A′C′|}{|AC′|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{150}}{15}$>$\frac{\sqrt{135}}{15}$,
∴θ<∠MAC′,
∴該正圓錐面和底面A′B′C′D′的交線是雙曲線;
同理可知,P點在平面CDD′C′的交線是雙曲線弧,
故選A.

點評 本題考查正圓錐曲線被與中心軸成θ的平面所截曲線的軌跡,考查分析運算能力,屬于難題.

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A. B.

C. D.

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