Question

下列命題正確的有

 

．
①“一元二次方程x²+x+m=0”有實(shí)數(shù)解的一個(gè)充分不必要條件是m＜-

1

4

②命題“x＞0且y＞0，則x+y＞0”的否命題是假命題
③若不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]，則不等式x²-bx-a＜0的解集（2，3）
④數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n=

(3-a)n-3(n≤7) an-6(n＞7)

若{a_n}是遞增數(shù)列，則a∈[

9

4

，3）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題

分析：①中由m＜-

1

4

推導(dǎo)出一元二次方程x²+x+m=0有實(shí)數(shù)解，但方程x²+x+m=0有實(shí)數(shù)解時(shí)，m＜-

1

4

不一定成立，由此判定命題是否正確；
②中寫(xiě)出命題的否命題，通過(guò)舉反例說(shuō)明它的否命題不正確即可；
③中由不等式ax²-bx-1≥0的解集求出a、b的值，從而求出不等式x²-bx-a＜0的解集；
④中由數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，得出不等式組，解出a的取值范圍．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)m＜-

1

4

時(shí)，1²-4×1×m=1-4m＞2＞0，∴“一元二次方程x²+x+m=0”有實(shí)數(shù)解，充分性成立；
當(dāng)一元二次方程x²+x+m=0有實(shí)數(shù)解時(shí)，1²-4×1×m=1-4m＞0，∴m＜

1

4

，∴m＜-

1

4

不一定成立，即必要性不成立；
∴命題①正確．
對(duì)于②，命題“x＞0且y＞0，則x+y＞0”的否命題是“若x+y＞0，則x＞0且y＞0”，
它是假命題，如x=1，y=0時(shí)命題不成立；
∴命題②正確．
對(duì)于③，當(dāng)不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]時(shí)，由一元二次不等式與對(duì)應(yīng)的方程的關(guān)系知：a=-6，b=5，
∴不等式x²-bx-a＜0即為x²-5x+6＜0，它的解集是（2，3）；
∴命題③正確．
對(duì)于④，∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n=

(3-a)n-3(n≤7) an-6(n＞7)

，當(dāng){a_n}是遞增數(shù)列時(shí)，

a＞1 3-a＞0 a2＞7(3-a)-3

解得a∈（2，3）；
∴命題④錯(cuò)誤．
綜上，以上正確的命題是①②③；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)命題真假的判定，考查了充分與必要條件的判定，四種命題之間的關(guān)系，一元二次不等式與對(duì)應(yīng)的方程之間的關(guān)系，數(shù)列的有關(guān)概念等問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)每一個(gè)命題仔細(xì)分析，以便得出正確的選擇．