Question

3．某校高二年級(jí)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)組成一個(gè)樣本，得到如下頻率分布直方圖：
（1）求這部分學(xué)生成績(jī)的樣本平均數(shù)$\overline x$和樣本方差s²（同一組數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值作為代表）
（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校高二學(xué)生在這次測(cè)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布$N（\overline x，{s^2}）$．
①利用正態(tài)分布，求P（X≥129）；
②若該校高二共有1000名學(xué)生，試?yán)�用①的結(jié)果估計(jì)這次測(cè)驗(yàn)中，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?29分以上（含129分）的學(xué)生人數(shù)．（結(jié)果用整數(shù)表示）
附：①$\sqrt{210}$≈14.5②若X～N（μ，σ²），則P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）由同一組數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值作為代表，利用平均數(shù)公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s²．
（2）①由（1）知：X～N（100，210），從而P（X≥129）=P（X≥100+2×14.5），可得結(jié)論；
②由①知：這次測(cè)驗(yàn)，該校高二1000名學(xué)生中，成績(jī)?cè)?2（9分）以上的人數(shù)約為1000×0.0228．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知：$\overline{x}=（70×0.005+80×0.010+90×0.020+100×0.030+110×0.020+120×0.010$+130×0.005）×10=100分 …（3分）
s²=（-30）²×0.005×10+（-20）²×0.010×10+（-10）²×0.020×10+0×0.030×10+10²×0.020×10+20²×0.010×10+30²×0.005×10=210…（6分）
（2）①由（1）知：X～N（100，210），
從而P（X≥129）=P（X≥100+2×14.5）=$\frac{1-P（100-2×14.5＜X＜100+2×14.5）}{2}$=$\frac{1-0.9544}{2}$=0.0228
…（10分）
②由①知：這次測(cè)驗(yàn)，該校高二1000名學(xué)生中，成績(jī)?cè)?2（9分）以上的人數(shù)約為1000×0.0228=22.8≈23人…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查樣本平均數(shù)x和樣本方差s²的求法，考查正態(tài)分布，是中檔題，