Question

（本題滿(mǎn)分10分）

函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段圖象如圖所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間，并指出f(x)的最大值及取到最大值時(shí)x的集合；

(3)把f(x)的圖象向左至少平移多少個(gè)單位，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？

 

Answer 1

【答案】

（1）；

(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為　(k∈Z)．

函數(shù)f(x)的最大值為1，取到最大值時(shí)x的集合為{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

(3)至少須左移個(gè)單位才能使所對(duì)應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)

【解析】本試題主要考查了三角函數(shù)的解析式和其圖像與性質(zhì)和三角函數(shù)函數(shù)圖像的變換的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)橛蓤D像可知周期，得到w，然后利用振幅得到A，代入一個(gè)特殊點(diǎn)得到初相的值，得到解析式。

（2）利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求解三角函數(shù)的值域，并求解取得最值時(shí)自變量的取值集合

（3）根據(jù)圖像的平移變換和周期變化和振幅變換可知至少要左移個(gè)單位，才能符合題意。

解：（1）從圖知，函數(shù)的最大值為1，

則  函數(shù)的周期為，而，則，

又時(shí)，，而，則，

∴函數(shù)的表達(dá)式為……4分

(2)由2kπ＋≤≤2kπ＋得，

kπ＋≤x≤kπ＋　(k∈Z)，

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為　(k∈Z)．

函數(shù)f(x)的最大值為1，取到最大值時(shí)x的集合為{x|x＝kπ＋，k∈Z}．……7分

(3)解法一：f(x)＝sin

＝cos＝cos

＝cos，

故至少須左移個(gè)單位才能使所對(duì)應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)．……10分

解法二：f(x)＝sin的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為＝kπ＋，

∴x＝，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝，k＝－1時(shí)，x＝，

故至少左移個(gè)單位．……10分