Question

1．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的公比為$\frac{1}{2}$，滿足S₃=15，a₁+2b₁=3，a₁+4b₁=6．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}通項a_n，b_n；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義與通項公式，列出方程組求出首項與公差，即可寫出通項公式；
（2）利用錯位相減法求T_n即可．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{{3a}_{1}+3d=15}\\{{a}_{1}+{2b}_{1}=3}\\{{a}_{1}+d+{2b}_{1}=6}\end{array}\right.$，
解得：a₁=2，d=3，b₁=$\frac{1}{2}$；
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，
b_n=$\frac{1}{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$=${（\frac{1}{2}）}^{n}$；
（2）由（1）知，
T_n=2×$\frac{1}{2}$+5×${（\frac{1}{2}）}^{2}$+8×${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+（3n-4）×${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$+（3n-1）×${（\frac{1}{2}）}^{n}$，①
①×$\frac{1}{2}$得，
$\frac{1}{2}$T_n=2×${（\frac{1}{2}）}^{2}$+5×${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+（3n-4）×${（\frac{1}{2}）}^{n}$+（3n-1）×${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$，②
①-②得，
$\frac{1}{2}$T_n=2×$\frac{1}{2}$+3×[${（\frac{1}{2}）}^{2}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$+…+${（\frac{1}{2}）}^{n}$]-（3n-1）×${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$
=1+3×$\frac{\frac{1}{4}×[1{-（\frac{1}{2}）}^{n+1}]}{1-\frac{1}{2}}$-（3n-1）×${（\frac{1}{2}）}^{n+1}$，
∴T_n=-（3n+5）×${（\frac{1}{2}）}^{n}$+5．

點(diǎn)評 本題考查了等差、等比數(shù)列的定義與通項公式以及前n項和的應(yīng)用問題，是綜合性題目．