Question

“a=0是f（x）=

x+a

|x|-1

為奇函數(shù)“的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：先求f（x）的定義域，然后a=0時求出f（x），并容易判斷此時f（x）的奇偶性；而由f（x）是奇函數(shù)，便有f（-x）=-f（x），所以能夠求出a=0，這樣便可得到“a=0”是“f（x）=

x+a

|x|-1

為奇函數(shù)”的什么條件．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為{x|x≠±1}，若a=0，f（x）=

x

|x|-1

；
∴f（-x）=

-x

|x|-1

=-f(x)；
∴f（x）是奇函數(shù)；
a=0是f（x）=

x+a

|x|-1

為奇函數(shù)的充分條件；
（2）若f（x）=

x+a

|x|-1

是奇函數(shù)，則：
f（-x）=

-x+a

|x|-1

=

-x-a

|x|-1

；
∴a=-a；
∴a=0；
∴“a=0”是“f（x）=

x+a

|x|-1

為奇函數(shù)”的必要條件；
綜合（1）（2）得“a=0“是“f（x）=

x+a

|x|-1

為奇函數(shù)“的充要條件．
故選C．

點評：考查奇函數(shù)的定義，判斷一個函數(shù)是否為奇函數(shù)的方法，以及充分條件、必要條件、充要條件的概念．