Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過作直線與橢圓交于，兩點，的周長為8．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）問：的內(nèi)切圓面積是否有最大值？若有，試求出最大值；若沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由離心率得，再利用的周長為8得，從而得到的值，進而得到橢圓的方程；

（2）將的內(nèi)切圓面積的最大值轉(zhuǎn)化為求的值最大，設(shè)，，直線，從而將面積表示成關(guān)于的函數(shù)，再利用換元法研究函數(shù)的最值.

（1）離心率為，，

的周長為8，，得，

，，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，

又，，

要使的內(nèi)切圓面積最大，只需的值最大．

設(shè)，，直線，

聯(lián)立消去得：，

易得，且，，

所以

，

設(shè)，則，

設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，即時，的最大值為3，

此時，所以的內(nèi)切圓面積最大為．