Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，S_n=

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

an + an+1

．
（1）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為

3

2

的等差數(shù)列，求S₆₇；
（2）若S_n=

n

a1 + an+1

，求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出an，考慮

1

an + an+1

=

2

3

（

an+1

-

an

），再化簡(jiǎn)S_n，再求S₆₇；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=2時(shí)，化簡(jiǎn)得到a₂-a₃=a₁-a₂即a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，令n=k時(shí)，且a_k+1=a₁+kd，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，即k（a_k+2-a_k+1）=a_k+1-a₁，由假設(shè)即得a_k+2-a_k+1=d，從而得證．

解答： （1）解：若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為

3

2

的等差數(shù)列，
則a_n=1+

3

2

(n-1)=

3

2

n-

1

2

，
則

1

an + an+1

=

an+1 - an

an+1-an

=

2

3

（

an+1

-

an

），
則S₆₇=

2

3

（-

a1

+

a2

-

a2

+

a3

+…+

a68

-

a67

）=

2

3

（

a68

-

a1

）
=

2

3

（

406

2

-1）．
（2）證明：當(dāng)n=2時(shí)，S₂=

2

a1 + a3

=

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

即

a2 - a3

( a1 + a3 )( a1 + a2 )

=

a1 - a2

( a2 + a3 )( a1 + a3 )

∴a₂-a₃=a₁-a₂即a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列
令n=k時(shí)，

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

ak + ak+1

=

k

a1 + ak+1

且又{a_k}為等差數(shù)列且a_k+1=a₁+kd
當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…

1

ak + ak+1

+

1

ak+1 + ak+2

=

k+1

a1 + ak+2

即有

k

a1 + ak+1

+

1

ak+1 + ak+2

=

k+1

a1 + ak+2

k•

ak+2 - ak+1

( a1 + ak+1 )( a1 + ak+2 )

=

ak+1 - a1

( a1 + ak+2 )( ak+1 + ak+2 )

即k（a_k+2-a_k+1）=a_k+1-a₁
∵a_k+1=a₁+kd即a_k+2-a_k+1=d
∴n=k+1時(shí)，{a_k+1}也是等差數(shù)列，
綜上得，{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和裂項(xiàng)相消求和法，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題，注意解題步驟，注意運(yùn)用假設(shè)，本題屬于中檔題．