Question

7．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-x的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤x²+x在（1，4）恒成立；
（3）問題轉(zhuǎn)化為討論a=-x³+x²+x的交點個數(shù)，令m（x）=-x³+x²+x，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性恒成m（x）的大致圖象，結(jié)合圖象，通過討論a的范圍求出函數(shù)的零點即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+lnx，（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，f′（1）=1，f（1）=2，
故切線方程是：y-2=x-1，
整理得：x-y+1=0；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
若f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞增，
則x²+x-a≥0在（1，4）恒成立，
即a≤x²+x在（1，4）恒成立，
而y=x²+x的最小值是2，
故a≤2；
（3）g（x）=f′（x）-x=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$-x=$\frac{{-x}^{3}{+x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令h（x）=-x³+x²+x-a，（x＞0），
討論函數(shù)g（x）=f′（x）-x的零點個數(shù)，
即討論h（x）=-x³+x²+x-a，（x＞0）的零點個數(shù)，
即討論a=-x³+x²+x的交點個數(shù)，
令m（x）=-x³+x²+x，（x＞0），
m′（x）=-3x²+2x+1=-（3x+1）（x-1），
令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1，
∴m（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴m（x）_max=m（1）=1，x→0時，m（x）→0，
x→+∞時，m（x）→-∞，
如圖示：
，
結(jié)合圖象：a＞1時，g（x）無零點，
a=1或a≤0時，g（x）1個零點，
0＜a＜1時，g（x）2個零點．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，是一道中檔題．