Question

2．某地擬在一個U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一條堤壩（E在AP上，N在BQ上），圍出一個封閉區(qū)域EABN，用以種植水生植物．為了美觀起見，決定從AB上點M處分別向點E，N拉2條分割線ME，MN，將所圍區(qū)域分成3個部分（如圖），每部分種植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，設(shè)所拉分割線總長度為l．
（1）設(shè)∠AME=2θ，求用θ表示的l函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠AME=2θ，求出EM，MN，即可求用θ表示的l函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即可求l的最小值．

解答 解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，
∴△BMN≌△EMN，
∴∠BNM=∠MNE，
∵∠AME=2θ，
∴∠BNM=∠MNE=θ，
設(shè)MN=x，
在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，
∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，
∵AM+BM=a，
∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，
∴x=$\frac{a}{sinθcos2θ+sinθ}$，
∴l(xiāng)=EM+MN=$\frac{a}{2sinθ（1-sinθ）}$，θ∈（0，$\frac{π}{4}$）；
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴f（θ）≤$\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時，取得最大值$\frac{1}{4}$，此時l_min=2a．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查三角函數(shù)模型的運(yùn)用，屬于中檔題．