Question

已知函數(shù)，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)，若非零常數(shù)λ使得{b_n}為等差數(shù)列，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將的解析式化簡(jiǎn)為，進(jìn)而由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）結(jié)合，且{b_n}為等差數(shù)列，可求出λ的值，進(jìn)而求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法，得到數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：解：（I）∵=+log₂x=log₂x+log₂x=
∴==，
故a_n=4n-3
（II）由（I）得S_n=2n²-n，要使=為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
則b_n=應(yīng)是關(guān)于n的一次函數(shù)，又由λ≠0
故λ=-
此時(shí)b_n=2n，=2n•4ⁿ，
故T_n=2•4¹+2×2•4²+…+2（n-1）•4^n-1+2n•4ⁿ，…①
4T_n=0+2•4²+4•4³+…+2（n-1）•4ⁿ+2n•4ⁿ⁺¹，…②
①-②得：
-3T_n=2•4¹+2•4²+…+2•4ⁿ-2n•4ⁿ⁺¹=（-2n）4ⁿ⁺¹-
∴T_n=（n-）4ⁿ⁺¹+
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)列求和，是對(duì)數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度較大．