【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-ax+ln(x+1)(a∈R).
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的極值點;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒有f′(x)>x,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)已知a<1,c1>0,且cn+1=f′(cn)(n=1,2,…),證明數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
【答案】解析
【解析】(1)當a=2時,f(x)=x2-2x+ln(x+1),
f′(x)=2x-2+=.
令f′(x)=0,得x=±.
當x∈時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當x∈時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
當x∈時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以函數(shù)f(x)的極大值點為x=-,極小值點為x=.
(2)因為f′(x)=2x-a+,
由f′(x)>x,得2x-a+>x,
所以由題意知,a<x+ (0<x<1)恒成立.
又x+=x+1+-1≥1,當且僅當x+1=,即x=0時等號成立.
所以a≤1.
故所求實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].
(3)證明:①當n=1時,c2=f′(c1)=2c1-a+.
因為c1>0,所以c1+1>1,又a<1,
所以c2-c1=c1-a+=c1+1+-(a+1)>2-(a+1)=1-a>0,
所以c2>c1,即當n=1時結論成立.
②假設當n=k(k∈N*,k≥1)時結論成立,即ck+1>ck>0,
當n=k+1時,
ck+2-ck+1=ck+1-a+=ck+1+1+-(a+1)>2-(a+1)=1-a>0.
所以ck+2>ck+1,即當n=k+1時結論成立.
由①②知數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市統(tǒng)計局就2015年畢業(yè)大學生的月收入情況調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖所示,每個分組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示.
(1)求畢業(yè)大學生月收入在的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析大學生的收入與所學專業(yè)、性別等方面的關系,必須按月收入再從這10000人中按分層抽樣方法抽出100人作進一步分析,則月收入在的這段應抽取多少人?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形的兩條對角線相交于,現(xiàn)用五種顏色(其中一種為紅色)對圖中四個三角形進行染色,且每個三角形用一種顏色圖染.
(1)若必須使用紅色,求四個三角形中有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù);
(2)若不使用紅色,求四個三角形中所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學教師對所任教的兩個班級各抽取20名學生進行測試,分數(shù)分布如表:
(1)若成績120分以上(含120分)為優(yōu)秀,求從乙班參加測試的90分以上(含90分)的同學中,隨機任取2名同學,恰有1人為優(yōu)秀的概率;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表:在犯錯概率小于的前提下,你是否有足夠的把握認為學生的數(shù)學成績是否優(yōu)秀與班級有關系?
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
,其中.
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【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點P.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上的點,且=+,求點Q的軌跡方程.
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【題目】一次猜獎游戲中,1,2,3,4四扇門里擺放了, , , 四件獎品(每扇門里僅放一件).甲同學說:1號門里是,3號門里是;乙同學說:2號門里是,3號門里是;丙同學說:4號門里是,2號門里是;丁同學說:4號門里是,3號門里是.如果他們每人都猜對了一半,那么4號門里是( )
A. B. C. D.
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【題目】根據(jù)某電子商務平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示,參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖所示.
(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列,求a,b的值;
(2)該電子商務平臺將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高消費人群,其他年齡段的人群定義為潛在消費人群,為了鼓勵潛在消費人群的消費,該平臺決定發(fā)放代金券,高消費人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費人群每人發(fā)放100元的代金券,現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者中抽取10人,并在這10人中隨機抽取3人進行回訪,求此3人獲得代金券總和X(單位:元)的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x-2a|.
(1)當a=1時,求f(x)≤3的解集;
(2)當x∈[1,2]時,f(x)≤3恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】通過研究學生的學習行為,心理學家發(fā)現(xiàn),學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間,講座開始時,學生的興趣激增,中間有一段不太長的時間,學生的興趣保持理想的狀態(tài),隨后學生的注意力開始分散,分析結果和實驗表明,用表示學生掌握和接受概念的能力(的值越大,表示接受能力越強),表示提出和講授概念的時間(單位:分),可以有以下公式: .
(1)開講多少分鐘后,學生的接受能力最強?能維持多少分鐘?
(2)開講5分鐘與開講20分鐘比較,學生的接受能力何時強一些?
(3)一個數(shù)學難題,需要55的接受能力以及13分鐘的時間,老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題?
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