Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a），g（x）=x³+b，直線(xiàn)l：y=x與y=f（x）相切，
（1）求a的值
（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個(gè)解x₁，x₂求b的取值范圍，并比較x₁x₂+1與x₁+x₂的大�。�（3）設(shè)n≥2時(shí)，n∈N^*，求證：+…＜1

Answer 1

解：（1）設(shè)切（x₀，y₀），y₀=x₀，，
∴x₀+a=1，且y₀=ln（x₀+a）=0，∴x₀=0，a=1（3分）
（2）ln（x+a）=，得
令h（x）=，
在（0，1）上h^′（x）＜0，故h（x）在（0，1）單調(diào)減
在（1，+∞）上，h^′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）單調(diào)增
∴，若h（x）圖在（0，+∞）內(nèi)x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則
，此時(shí)h（3）=
所b的范圍為．（8分）
由上知，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個(gè)x₁、x₂，滿(mǎn)足0＜x₁＜1，x₂＞1，
∴x₁x₂+1-（x₁+x₂）=（1-x₁）（1-x₂）＜0
∴x₁x₂+1＜（x₁+x₂）
（3）求導(dǎo)數(shù)可證f（x）≤x，即ln（x+1）≤x（10分）
故n≥2，n∈N^*時(shí)，lnn＜n-1
∴（12分）
∴（13分）
分析：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，方程思想解決
（2）考查構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)范圍，利用圖象數(shù)形結(jié)合列式求解
（3）考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)建函數(shù)能力
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的能力要求較大，屬于難題